Par définition de l'intégrale, on a :
(x k -x k - 1 )f (x k ) = ∫_{x _{k-1 n</div><div style = "clear : both;"> n</div> x k f (x k )dt d'où
| (x k -x k - 1 )f (x k )- ∫ | x k
x k - 1 | f (t).dt = ∫ | x k
x k - 1 | (f (x k )-f (t)).dt |
En sommant pour k ∈ {1, …,n } , on obtient : | S n - ∫ | b
a | f (t)dt = | n
Σ
k = 1 | ∫ | x k
x k - 1 | (f (x k )-f (t)).dt |
d'où | |S n - ∫ | b
a | f (t)dt| ≤ | n
Σ
k = 1 | ∫ | x k
x k - 1 | |f (x k )-f (t)|dt |
Soit ε>0. Par le Théorème de Heine, f est uniformément continue sur le segment , il existe donc α>0 tel que | ∀ (x,t) ∈ 2 |x-t| ≤ α ⇒ |f (x)-f (t)| ≤ | ε
–––––
b-a |
.
On considère la relation pour n assez grand, de sorte que . Ainsi | ∀ t ∈ |x k -t| ≤ | b-a
–––––
n | ≤ α |
, d'où | |S n - ∫ | b
a | f (t)dt| ≤ ∫ | b
a | ε
–––––
b-a | = ε |
.}}
Extensions
- On peut considérer
| S n = | b-a
–––––
n | n
Σ
k = 0 | f (x k ) |
car
lim
n → + ∞ | b-a
–––––
n | f (x 0 ) = 0 |
(une seule valeur ne change pas le résultat). - On peut aussi étendre la propriété précédente aux cas de subdivisions σ = (x 0 ,x 1 , …,x n ) quelconques. Dans ce cas, on note
| S σ = | n
Σ
k = 1 | (x k -x k - 1 )f ( θ k ) |
où θ k ∈. On note | Δ( σ) = |
max
1 ≤ k ≤ n | (x k -x k - 1 ) |
le pas de la subdivision. Donc, avec les notations précédentes, si Δ( σ) ≤ α, alors :
Cas particulier
lim
n → ∞ | b-a
–––––
n | n
Σ
k = 1 | f | ( | a+ | (b-a)k
––––––––
n | ) | = |
lim
n → ∞ | b-a
–––––
n | n - 1
Σ
k = 0 | f | ( | a+ | (b-a)k
––––––––
n | ) | = ∫ | b
a | f (x)dx |
Voir aussi